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MAT – FIGURAS GEOMÉTRICAS. ÁREAS, PERÍMETROS Y VOLÚMENES.

En geometría, un polígono es una figura geométrica plana compuesta por una secuencia finita de segmentos rectos consecutivos que encierran una región en el plano. Estos segmentos son llamados lados, y los puntos en que se intersectan se llaman vértices. El polígono es el caso bidimensional del politopo.

La palabra polígono deriva del griego antiguo , a su vez formado por “poli” ‘muchos’ y “gonía” ‘ángulo’,​ aunque hoy en día los polígonos son usualmente entendidos por el número de sus lados.

La noción geométrica elemental ha sido adaptada de distintas maneras para servir a propósitos específicos. A los matemáticos a menudo les interesan solo las líneas poligonales cerradas y los polígonos simples (aquellos en los cuales sus lados solo se intersectan en los vértices), y pueden definir un polígono de acuerdo a ello. Es requisito geométrico que dos lados que se intersectan en un vértice formen un ángulo no llano (distinto a 180°), ya que de otra manera los segmentos se considerarían partes de un único lado.  Incluso, se podría denominar a dichos polígonos en función de sus ángulos (agudo, recto u obtuso). Sin embargo, esos vértices podrían permitirse algunas veces por cuestiones prácticas. 

Definiciones.

La definición del polígono depende del uso que se le quiera dar, así por ejemplo para hacer referencia a una región del plano se tiene:

  • Llamaremos polígono a la porción del plano delimitada y encerrada por una línea poligonal.

Para hacer referencia al estudio euclidiano de las longitudes de los lados de un polígono, se tiene:

  • Llamaremos polígono a una figura geométrica plana definida por una línea poligonal de la cual sus dos extremos coinciden.

Línea poligonal.

Se denomina línea poligonal o línea quebrada al conjunto de segmentos unidos sucesivamente por sus extremos donde el extremo de cada uno es origen del siguiente, tal que dos segmentos sucesivos no están alineados, en tal caso se considera ambos como un único segmento.

Elementos de un polígono.
 

En un polígono se distinguen los siguientes elementos geométricos:
  • Lados del polígono: son cada uno de los segmentos que conforman el polígono.
  • Vértices de un polígono: son los puntos de intersección o puntos de unión entre lados consecutivos.
  • Diagonales del polígono: son segmentos que une dos vértices no consecutivos del polígono.
  • Ángulo interior del polígono: es el ángulo formado, internamente al polígono, por dos lados consecutivos.
  • Ángulo exterior del polígono: es el ángulo formado, externamente al polígono, por uno de sus lados y la prolongación del lado consecutivo.
  • Ángulo entrantes del polígono: es el ángulo interior al polígono que miden más de 180º.8​
  • Ángulo salientes del polígono: es el ángulo interior al polígono que miden menos de 180º.9​
  • Centro (C): es el punto equidistante de todos los vértices y lados.
  • Ángulo central (AC): es el ángulo formado por dos segmentos de recta que parten del centro a los extremos de un lado.
  • Apotema (a): es el segmento que une el centro del polígono con el centro de un lado; es perpendicular a dicho lado.
  • Diagonal: son los segmentos que unen los vértices del polígono no consecutivamente.

En un polígono regular se puede distinguir, además:

  • Centro (C): es el punto equidistante de todos los vértices y lados.
  • Ángulo central (AC): es el ángulo formado por dos segmentos de recta que parten del centro a los extremos de un lado.
  • Apotema (a): es el segmento que une el centro del polígono con el centro de un lado; es perpendicular a dicho lado.
  • Diagonal: son los segmentos que unen los vértices del polígono no consecutivamente. Un polígono de n lados tendrá un total de Nd diagonales:

 

Formulario

Para un polígono regular de n lados:

  • Diagonales totales:
  • Ángulo interno: \theta =\frac{180(n-2)}{n} 
  • Ángulo central: \theta =\frac{360}{n} 
  • Ángulo externo: \theta =\frac{360}{n}
  • Ángulo exterior completo: \theta =\frac{180(n+2)}{n}
  • Área de un polígono regular: A=\frac{Apotema\cdot Perimetro}{2}
  • Intersecciones de diagonales , en un polígono de  vértices.
  • Perímetro (P): es la suma de las longitudes de todos los lados del polígono.
  • Semiperímetro (SP): es la mitad del perímetro.
  • Diagonales totales para un polígono de n lados tendrá Nd diagonales:

Clasificación.

Existen varias clasificaciones posibles de los polígonos. Para ver una clasificación basada en su número de lados, vea la tabla inferior.

Clasificación de los polígonos según su forma.

  • Simple, si ningún par de aristas no consecutivas se corta. Equivalentemente, su frontera tiene un solo contorno.
  • Complejo o Cruzado, si dos de sus aristas no consecutivas se intersecan.10​
  • Convexo, si todo segmento que une dos puntos cualesquiera del contorno del polígono yace en el interior de este. Todo polígono simple y con todos sus ángulos internos, menores que 180º es convexo.
  • No convexo, si existe un segmento entre dos puntos de la frontera del polígono que sale al exterior del mismo. O si existe una recta capaz de cortar el polígono en más de dos puntos.
    Cóncavo, si es un polígono simple y no convexo.
  • Equilátero, si tiene todos sus lados de la misma longitud.
  • Equiángulo, si tiene todos sus ángulos interiores iguales.
  • Regular, si es equilátero y equiángulo a la vez.
  • Irregular, si no es regular. Es decir, si no es equilátero o equiángulo.
  • Cíclico, si existe una circunferencia que pasa por todos los vértices del polígono. Todos los polígonos regulares son cíclicos.
  • Ortogonal o Isotético, si todos sus lados son paralelos a los ejes cartesianos.
  • Alabeado, si sus lados no están en el mismo plano.
  • Estrellado, si se construye a partir de trazar diagonales en polígonos regulares. Se obtienen diferentes construcciones dependiendo de la unión de los vértices: de dos en dos, de tres en tres, etc.
  • Reticular es simple y, al representarlo en un reticulado, cada vértice yace exactamente en un vértice de cuadrado unitario del reticulado (en este caso funciona la fórmula de Pick).
  • Monótono, si existe alguna dirección del plano en la cual todos los cortes del polígono en esa dirección consisten en un punto o un segmento.

Clasificación de los polígonos según su forma.

Clasificación de triángulos.

Clasificación de cuadrilátero.

CIRCUNFERENCIA Y CÍRCULO

De manera formal, una circunferencia se define como el lugar geométrico de los puntos del plano equidistantes de otro, llamado centro de la circunferencia. No debemos nunca confundir el concepto de círculo con el concepto de circunferencia, que en realidad una circunferencia es la curva que encierra a un círculo (la circunferencia es una curva, el círculo una superficie).

En la imagen expuesta arriba se pueden ver todos los elementos que vamos a nombrar a continuación:

  • Centro: punto central que está a la misma distancia de todos los puntos pertenecientes a la circunferencia.
  • Radio: pedazo de recta que une el centro con cualquier punto perteneciente a la circunferencia.
  • Cuerda: pedazo de recta que une dos puntos cualquiera de una circunferencia.
  • Diámetro: mayor cuerda que une dos puntos de una circunferencia. Hay infinitos diámetros y todos pasan por el centro de la circunferencia.
  • Recta secante: recta que corta dos puntos cualesquiera de una circunferencia.
  • Recta tangente: recta que toca a la circunferencia en un solo punto y es perpendicular a un radio.

El círculo es la superficie del plano limitada por la circunferencia. Es decir, está formado por todos los puntos de la circunferencia y todos los puntos del plano en su interior. Elementos del círculo:

  • Semicírculo: una de las dos partes iguales que delimita un diámetro.
  • Sector circulares la parte del círculo comprendida entre dos radios y su arco.
  • Segmento circular: es la parte del limitada por un arco y su cuerda.
  • Corona circulares el espacio comprendido entre dos circunferencias con el mismo centro y distinto radio (concéntricas)

ÁREA Y PERÍMETROS.

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